如何通俗理解傅里葉變換

傅里葉變換和傅里葉級數(shù)是有史以來最深奧的數(shù)學發(fā)現(xiàn)之一。它們幫助我們將函數(shù)分解為其基本成分。它們揭示了任何數(shù)學函數(shù)的基本模塊，

使我們能夠利用這些模塊來更好地理解和操縱它們。但是，傅里葉級數(shù)和傅里葉變換背后的思想究竟是什么，這些 “基本成分 "又是什么？

我們在高中都學過什么是余弦和正弦。它們將直角三角形的角度與兩條邊長之比聯(lián)系起來。

另一種理解方式是，余弦和正弦分別是繞單位圓移動的點的 x 坐標和 y 坐標。它們是人們能想到的周期函數(shù)之一。

傅里葉級數(shù)用于周期函數(shù)。作為快速提示，如果以下條件成立，則稱函數(shù)  為周期函數(shù)，基本周期為 T：

我們將周期函數(shù)的基頻定義為 ，即基頻周期的倒數(shù)。如果周期告訴我們函數(shù)重復的頻率，

那么頻率則告訴我們每單位時間（或函數(shù)所依賴的任何其他單位）有多少次重復。

現(xiàn)在我們已經(jīng)掌握了定義傅立葉級數(shù)所需的一切。

傅里葉級數(shù)是正弦函數(shù)的無限加權(quán)和，每個正弦函數(shù)的頻率都是原始周期函數(shù)基頻的整數(shù)倍傅立葉級數(shù)的公式如下：

如果您已經(jīng)理解了有關傅里葉級數(shù)的所有內(nèi)容，那么傅里葉變換就會變得非常簡單。這次我們關注的是非周期函數(shù)。傅立葉變換的公式如下：

傅立葉變換的結(jié)果是頻率的函數(shù)。請記住，希臘字母歐米茄 “ω"用來表示角頻率，它是乘積  的別稱。當初始函數(shù)  是一個時間函數(shù)時，

傅里葉變換給出了該函數(shù)的頻率內(nèi)容。摘自維基百科的一句話：

時間函數(shù)的傅里葉變換是頻率的復值函數(shù)，其幅值（絕對值）代表原始函數(shù)中該頻率的量，其參數(shù)是該頻率中基本正弦波的相位偏移。

傅里葉變換并不局限于時間函數(shù)，但原始函數(shù)的域通常被稱為時域。

我們可以利用反傅里葉變換找回初始函數(shù)：

讓我們比較一下反傅里葉變換和傅里葉級數(shù)。

首先，我們使用復指數(shù)來表示正弦函數(shù)，而不是使用余弦函數(shù)和正弦函數(shù)（這會導致兩個積分），這樣會更加簡潔。積分前的系數(shù) 1/2π 是為了對稱的目的。

我們馬上會注意到的另一件重要事情是，我們現(xiàn)在有了一個積分，而不是離散的 “西格瑪 "和。請記住，積分本身也是和，不同的是，在積分下求和的量是連續(xù)的，而不是離散的。由于初始函數(shù)  現(xiàn)在是非周期的，我們需要所有可能的頻率（從負無窮到正無窮）來表示它。在傅里葉級數(shù)的情況下，我們只使用 T 的整數(shù)倍。由于我們現(xiàn)在沒有基本周期 T，我們不得不使用所有的 T。

至于復指數(shù)的系數(shù)，我們可以得到該函數(shù)在每個可能頻率 ω 下的傅里葉變換值。正如您所看到的，從傅里葉級數(shù)的概念到反傅里葉變換的概念之間存在著明顯的一一對應關系。