Allan方差是什么？（下）

4.Allan偏差

       對數(shù)——對數(shù)圖的使用僅僅解決了“計算”部分中描述的一個問題。另一個問題——方差的單位為“平方”，這使我們無法解釋對數(shù)——對數(shù)圖曲線上對應(yīng)的Y值的概念。

       為了解決這個問題，我們可以使用Allan偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差或標(biāo)準(zhǔn)差）而不是Allan方差。偏差是方差的平方根，因此要從Allan方差中得出Allan偏差，只需取上面計算出的每個方差的平方根即可。這會將數(shù)據(jù)單位改回我們可以直觀理解的單位（即傳感器實際記錄的單位——加速度單位）。

       但是，標(biāo)準(zhǔn)偏差的含義比方差要更難理解一點。方差是數(shù)據(jù)集合的整體分布統(tǒng)計，而標(biāo)準(zhǔn)差只是數(shù)據(jù)中與平均值接近的68％的數(shù)據(jù)的分布統(tǒng)計。比如，如果平均值是0，而標(biāo)準(zhǔn)偏差是正負(fù)5，則該數(shù)據(jù)集的大約32％大于5且小于-5。因此，方差告訴你highest和低范圍，標(biāo)準(zhǔn)差僅告訴你大部分?jǐn)?shù)據(jù)位于何處。

       也就是說，偏差圖更一目了然。

       我們可以通過計算Allan方差的平方根，然后得到如下的Allan偏差圖： 

5.如何使用Allan偏差圖

       使用Allan偏差圖比較產(chǎn)品或?qū)W習(xí)如何使用傳感器時，可以將圖中的曲線分為四個部分。當(dāng)然網(wǎng)上還有其他有關(guān)如何解釋這些圖的教程。為了將不同類型噪聲的影響分開，其中一些教程將Allan偏差圖分成了更多部分。對于此處的實際討論，我們省去了有關(guān)不同類型噪聲的許多細(xì)節(jié)。常見的Allan偏差圖的四個部分如下：

我們將在下面更深入地討論所有這四個部分：

A點——對應(yīng)的Y值是任何一次測量的噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者以單個數(shù)據(jù)點間隔為平均時間的噪聲。

B段——表示隨著平均時間的增長，平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差逐漸減小，可用于校正快速波動的噪聲。

C點——終，通過延長平均時間，噪聲可以達(dá)到一個小值。該小值具有用戶感興趣的optimal平均時間X和小系統(tǒng)噪聲（或信噪比為1時的靈敏度）Y值，C點也就是前文提到的“大信噪比”所需的平均時間。

D段——在較長時間范圍內(nèi)的慢變噪聲或系統(tǒng)漂移占主導(dǎo)，開始影響較大組的平均數(shù)據(jù)。

5.1. A點——單點噪聲

       Allan偏差圖的起點是單個點的噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差。因為在圖的開始處， “組”的大小為1。因此，組與組之間變化的標(biāo)準(zhǔn)偏差將等于各個點的標(biāo)準(zhǔn)偏差。因此，通過對比所計算數(shù)據(jù)集的起始Allan偏差和各個點的標(biāo)準(zhǔn)偏差，可以初步確認(rèn)Allan偏差計算的準(zhǔn)確性。

       請注意，對于偏差（漂移）不大于白噪聲的情況，上述描述是正確的。如果偏差隨時間的漂移比短時間內(nèi)白噪聲產(chǎn)生的漂移大，則數(shù)據(jù)集的標(biāo)準(zhǔn)偏差將是測量偏差，而不是白噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差。

用于選擇產(chǎn)品

       在比較產(chǎn)品時，A點數(shù)值對需要盡可能少的平均數(shù)據(jù)的應(yīng)用場景有很大價值。即，用戶需要盡可能多的使用每個數(shù)據(jù)點，或者需要盡可能多的保留數(shù)據(jù)中的高頻分量。對于大多數(shù)應(yīng)用，如“噪聲”部分所述，至少進(jìn)行一些平均是非常有用的。

實際應(yīng)用

       使用傳感器時，此值在嘗試評估單個測量點的噪聲時很有用。大約68％的測量結(jié)果將產(chǎn)生0.0025g的噪聲誤差，而32％的測量結(jié)果將具有更大的噪聲誤差。正如“噪聲”部分中所述，要確定單個測量數(shù)據(jù)點的噪聲是大是小，是正是負(fù)，實際上是不可能的。因此，將A點數(shù)值與你期望獲得的測量值幅度進(jìn)行比較，以及噪聲誤差是否會成為測量數(shù)據(jù)的重要分量，會對實際應(yīng)用非常有幫助。

5.2. B段——通過平均來改善精度

       隨著你可以收集越來越多的數(shù)據(jù)，并將它們?nèi)∑骄?，你可以對?shù)據(jù)進(jìn)行精度更高的提取。

用于選擇產(chǎn)品

       要使用從A點的大值到C點的小值的B段區(qū)間，你需要考慮自己的應(yīng)用場景。你可以合理采樣和平均的時長是多少？你是否想要每0.1秒獲取讀數(shù)或每1秒一次獲取讀數(shù)？如果你的應(yīng)用試圖在Allan偏差圖中測量相對于噪聲非常小的信號，則需要在可平均的時間范圍內(nèi)，比較不同產(chǎn)品的Allan偏差圖。

實際應(yīng)用

       在可允許的采樣運算時間內(nèi)，通過調(diào)整平均時間的長度，抑制每單位時間的降噪量，優(yōu)化系統(tǒng)的信噪比，同時保證系統(tǒng)足夠的響應(yīng)速度，可以幫助你更準(zhǔn)確的微調(diào)應(yīng)用場景中的數(shù)據(jù)采樣和平均時間間隔。

       例如，在很多四軸飛行器的應(yīng)用中，通過適當(dāng)平滑加速度計的輸出數(shù)據(jù)，以抑制其跳躍性的噪聲，可以幫助你更準(zhǔn)確地估計GPS讀數(shù)之間的飛行器位置。對于加速度數(shù)值遠(yuǎn)大于噪聲的情況而言，平均可以稍微平滑這些噪聲，但不會影響加速度計輸出結(jié)果的準(zhǔn)確性。因此，只要你感興趣數(shù)據(jù)的價值足夠大，且平均時間足夠長而不會受到太大影響，則可以收集到更多的數(shù)據(jù)樣本來更有效地過濾噪聲。這種偏差建模——通過延長平均時間法——允許你沿著B段斜率向下移至一個系統(tǒng)可接受的響應(yīng)平均時間的小值。

       但是，對于測量比采樣頻率更快的振動信號，這種方法將不再起作用。

5.3. C點——小偏差（optimal靈敏度）

       理論上，此小偏差是傳感器的optimum精度。實際應(yīng)用中，即使要達(dá)到這一水平也可能是很困難的。為此，你必須以約等于小C點的平均時間處理數(shù)據(jù)。這需要非常特定的應(yīng)用程序和采樣策略。

       對于例子中的加速度傳感器，optimum靈敏度大約是每100秒平均一次，每秒50個采樣，也即采集5000個點平均一次獲得的。請記住，optimum靈敏度只是噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差，因此，即使在C點的輸出，也將有大約三分之一的噪聲大于圖中顯示的小值。

用于選擇產(chǎn)品

       Allan偏差圖上的optimal靈敏度值，是比較不同傳感器常用的特征點。該數(shù)據(jù)點的用途是向你顯示靈敏度optimum的情況。根據(jù)Allan偏差圖，你可以選擇采取不同的采樣時間，并且在所需的靈敏度上有多少回旋余地（平均會大大提升傳感器的靈敏度），但請記住，你的數(shù)據(jù)仍會在C點小值附近產(chǎn)生偏差。事實上，在選擇產(chǎn)品時，圖形上的所有點都具有價值的。

5.4. D段——低頻噪聲

       當(dāng)你在此低頻噪聲中僅取一小部分值（例如隨機噪聲）時，數(shù)值變化會非常小。在越來越大的數(shù)據(jù)組中，隨機噪聲可能會很大。該噪聲通常是多個因素的疊加，包括溫度的影響，振動和隨機游走等。

       像其他噪聲一樣，真正隨機噪聲終將平均為零。但是，你將必須收集非常非常長時間的數(shù)據(jù)。足夠長的時間可以保證你的數(shù)據(jù)捕獲任何合理的重復(fù)頻率的隨機噪聲。但是，想象一下——假設(shè)你發(fā)現(xiàn)新的小噪聲點超過了數(shù)萬秒的平均時間——你是否真的想對所有這些數(shù)據(jù)進(jìn)行平均以確定小偏差？這樣做，你會錯過所有來自傳感器的真實，快速的數(shù)據(jù)，因為你一直都在等待采集足夠的數(shù)據(jù)做長期平均值。

用于選擇產(chǎn)品

       即使要在曲線的較早一點進(jìn)行平均，該圖的這一部分仍然非常重要。這是由于這樣的事實，無論平均周期如何，你仍然會經(jīng)歷隨機或溫度依賴形式的低頻噪聲。想象一下，一組1000個數(shù)據(jù)點的中值在整個過程中緩慢漂移。如果將每十個數(shù)據(jù)點平均一次，則可能會減輕大部分白噪聲，但數(shù)據(jù)仍將漂移至以前相同的量。

       在Allan偏差上做一個與X軸平行的直線，該線與Allan偏差曲線交于e和f兩點，如下圖所示。e點和f點雖然平均時間不同，但是檢測精度其實是相同的。如果這個Allan偏差曲線右端對應(yīng)的Y值高于左端first的Y值，說明到達(dá)此點時間后，系統(tǒng)已經(jīng)漂移超過原始未平均的靈敏度。

       如果你對傳感器和所收集的數(shù)據(jù)有非常清楚的了解，則可以使用軟件算法校正和處理低頻噪聲，但這是很困難的，只能根據(jù)具體情況進(jìn)行。如果這種操作在你的應(yīng)用中不可行，則選擇低頻噪聲曲線較淺的傳感器將很有價值。當(dāng)然，你會發(fā)現(xiàn)傳感器的低頻噪聲與傳感器的成本直接相關(guān)。

6.溫度的影響

       當(dāng)溫度變化時，電子系統(tǒng)會經(jīng)歷一定程度的誤差變化（溫飄），終反映在噪聲特性中。當(dāng)查看加速計數(shù)據(jù)隨時間變化時，這些溫度影響并不是立即顯而易見的，例如“測量噪聲”部分中的圖形。

       但是溫漂效應(yīng)和其他較小的難以控制的影響使慣性導(dǎo)航變得極為困難。如果在室溫下記錄加速度計的Allan偏差圖，則低頻噪聲特性（曲線上的D段）可能不會非常陡峭。但是，如果你使用相同的加速度計并將其置于動態(tài)溫度環(huán)境中，則會發(fā)現(xiàn)低頻噪聲曲線將變得更加陡峭或難以預(yù)測。通過比較這兩個Allan偏差圖，并使所有其他變量保持恒定，你可以大致確定溫度變化對設(shè)備的影響有多大。