西門(mén)子CPU模塊6ES7315-2EH14-0AB0

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什么是節(jié)點(diǎn)法

1 .方法
         任選電路中某一節(jié)點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn)，其他節(jié)點(diǎn)與此參考節(jié)點(diǎn)間的電壓稱為“節(jié)點(diǎn)電壓"。節(jié)點(diǎn)法是以節(jié)點(diǎn)電壓作為獨(dú)立變量，對(duì)各個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)列寫(xiě)KCL電流方程，得到含(n-1)個(gè)變量的(n-1)個(gè)獨(dú)立電流方程，從而求解電路中待求量。
2.變量
        (n-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓
3.方程結(jié)構(gòu)
        (n-1)個(gè)KCL電流方程 
4.矩陣形式
         其中，Gn為節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣，Un為節(jié)點(diǎn)電壓向量，Jn為節(jié)點(diǎn)電流源向量
 5.解題步驟
選定參考節(jié)點(diǎn)；
直接寫(xiě)出節(jié)點(diǎn)電壓方程（實(shí)質(zhì)上是電流方程），注意自導(dǎo)總為正值，互導(dǎo)總為負(fù)值；
聯(lián)立上述方程式，求解。
 6.說(shuō)明
存在純電壓源支路時(shí)，可設(shè)電壓源的電流為變量，同時(shí)補(bǔ)充相應(yīng)的方程。
存在受控源時(shí)，可將受控源按獨(dú)立源處理，其后將受控源的控制量用節(jié)點(diǎn)電壓表示出來(lái)，然后移項(xiàng)。
適用于支路多、節(jié)點(diǎn)少的電路分析。
可以運(yùn)用于非平面電路

關(guān)聯(lián)矩陣與節(jié)點(diǎn)電流定律 

根據(jù)第一章中介紹的圖論知識(shí)可知，實(shí)際電路結(jié)構(gòu)可用一個(gè)有向圖來(lái)具體描述。如某一電路的有向圖如圖7-2-1所示，把有向圖各節(jié)點(diǎn)和支路編號(hào)，然后依次把各支路與相應(yīng)連接點(diǎn)的連接信息用數(shù)字形式記憶下來(lái)。根據(jù)這些信息可完整描述電路的聯(lián)接關(guān)系，若把這些信息輸入計(jì)算機(jī)，則計(jì)算機(jī)就會(huì)根據(jù)這些信息自動(dòng)識(shí)別電路關(guān)系，并應(yīng)用基爾霍夫定律建立相應(yīng)的電路方程，進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算。

圖 7-2-1

電路中支路與節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系可用關(guān)聯(lián)矩陣來(lái)描述。設(shè)電路的節(jié)點(diǎn)數(shù)為，支路數(shù)為b。依次給節(jié)點(diǎn)和支路編號(hào)（節(jié)點(diǎn)編號(hào)用一圓圈加以區(qū)別），然后把有向圖用一個(gè)階矩陣來(lái)表示，記為。矩陣的行對(duì)應(yīng)于有向圖的節(jié)點(diǎn)，矩陣的列對(duì)應(yīng)于網(wǎng)絡(luò)的支路。中的元素作如下定義：

    （7-2-1）

式中，稱為電路的節(jié)點(diǎn)—支路關(guān)聯(lián)矩陣。例如對(duì)于圖7-2-1所示的電路，可寫(xiě)出關(guān)聯(lián)矩陣為：

關(guān)聯(lián)矩陣的每一列對(duì)應(yīng)于一條支路，每一支路必連接于二個(gè)節(jié)點(diǎn)，且方向?yàn)橐贿M(jìn)一出。因此的每一列中只包含二個(gè)非零元素＋1和－1，如上面關(guān)聯(lián)矩陣所示。如果把所有行的元素按列相加，則得到全零的行，因此矩陣的行不是彼此獨(dú)立的。對(duì)于中任一行元素可以通過(guò)把除該行以外的所有行相加并變號(hào)而獲得。

如果把的任一行劃去，剩下的矩陣為階矩陣，記作A。由上分析可知，用該新矩陣A來(lái)代替同樣能充分描述有向圖的連接關(guān)系，矩陣A稱為降價(jià)關(guān)聯(lián)矩陣，劃去的行對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)即為參考節(jié)點(diǎn)，上圖中若以節(jié)點(diǎn)④為參考點(diǎn)，則其降價(jià)關(guān)聯(lián)矩陣為

在實(shí)際應(yīng)用中通常采用降價(jià)關(guān)聯(lián)矩陣形式，因此在一般敘述中往往略去“降價(jià)"二字。關(guān)聯(lián)矩陣可由給定的網(wǎng)絡(luò)有向圖得出，同樣當(dāng)給定關(guān)聯(lián)矩陣A后也可推導(dǎo)出它所代表的有向圖。

關(guān)聯(lián)矩陣A的每一行是相互獨(dú)立的，每行之間是線性無(wú)關(guān)的，A的秩等于矩陣的行數(shù)。實(shí)際上由A的元素的定義可知，關(guān)聯(lián)矩陣的每一行反映了該節(jié)點(diǎn)的電流平衡關(guān)系式。A中線性獨(dú)立的n行代表了網(wǎng)絡(luò)中個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流平衡關(guān)系。

下面分析關(guān)聯(lián)矩陣A與支路電流，支路電壓，節(jié)點(diǎn)電位之間的關(guān)系。設(shè)網(wǎng)絡(luò)各支路電流為，支路電流方向與有向圖支路方向一致，用矩陣形式表示的支路電流列向量為。

若用關(guān)聯(lián)矩陣A左乘支路電流列向量i，可得一n行的列向量矩陣。由關(guān)聯(lián)矩陣的定義可知，該列向量中每一行的元素之和恰為離開(kāi)該節(jié)點(diǎn)的支路電流與流入該節(jié)點(diǎn)的支路電流之代數(shù)和，且離開(kāi)節(jié)點(diǎn)時(shí)電流為正，流入節(jié)點(diǎn)時(shí)電流為負(fù)。由基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律可知，節(jié)點(diǎn)電流代數(shù)和恒為零。因此可得A左乘i后其值為零向量，即有：

                  （7-2-2）

該式反映了網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)的電流平衡關(guān)系，稱為矩陣形式的基爾霍夫電流定律。對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)交流電路分析，上式可寫(xiě)為：

                  （7-2-3）

對(duì)于圖7-2-1所示的網(wǎng)絡(luò)，設(shè)支路電流列向量為，該網(wǎng)絡(luò)的關(guān)聯(lián)矩陣已寫(xiě)出，用A左乘i可得：

由式可見(jiàn)，的乘積列向量其實(shí)為n個(gè)節(jié)點(diǎn)的KCL方程式。

在用節(jié)點(diǎn)電壓法解題時(shí)要用到節(jié)點(diǎn)電壓與支路電壓之間的關(guān)系。下面分析節(jié)點(diǎn)電壓與支路電壓之間關(guān)系的矩陣形式。設(shè)網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)電壓的列向量為，（式中為使節(jié)點(diǎn)電壓與支路電壓相區(qū)別，在下標(biāo)中用一加圈數(shù)字表示節(jié)點(diǎn)），參考節(jié)點(diǎn)的電壓為零。支路電壓列向量為。若用關(guān)聯(lián)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣左乘節(jié)點(diǎn)電壓列向量，可得一個(gè)b 行的列矩陣。前已指出，A中每一列只包含二個(gè)元素（若支路連接于參考節(jié)點(diǎn)，則該列只包含一個(gè)元素），反映支路所連接的二個(gè)節(jié)點(diǎn)，且為一正一負(fù)，即支路方向離開(kāi)節(jié)點(diǎn)為正，反之為負(fù)。因此與乘積的列向量第一行中只包含該支路離開(kāi)節(jié)點(diǎn)的電壓與指向節(jié)點(diǎn)的電壓之差，即為該支路的支路電壓值。因此左乘的值即為支路電壓列向量u，即有：

                 （7-2-4）

對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)交流電路有：

                （7-2-5）

對(duì)于圖7-2-1所示的網(wǎng)絡(luò)，其節(jié)點(diǎn)電壓列向量為，用左乘，得

式（7-2-4）反映了節(jié)點(diǎn)電壓與支路電壓之間的關(guān)系

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第 3 節(jié) 一階電路的零輸入響應(yīng)

零輸入響應(yīng)：電路無(wú)外加激勵(lì)，僅由動(dòng)態(tài)元件的初始儲(chǔ)能作用所產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)（ zero-input response ）。

一、 RC 電路的零輸入響應(yīng)

圖 5.3-1 （ a ）電路， t=0 時(shí)開(kāi)關(guān) S 由位置 1 撥到位置 2 ，討論換路后 時(shí)的電容電壓 、電容電流 等響應(yīng)的變化規(guī)律。

電路換路之前開(kāi)關(guān) S 處于位置 1 ，直流電壓源 Us 對(duì)電容 C 充電，電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)，換路前的等效電路如圖 5.3-1 （ b ）所示。 時(shí)刻，電容電壓等于直流電壓源的電壓 Us ，即 

時(shí)刻，電容與電壓源斷開(kāi)，與電阻 R 形成新的回路，這時(shí)的等效電路如圖 5.3-1 （ c ）所示。

由換路定則得換路后電容電壓的初始值

電容電流的初始值為

圖 5.3-1 （ c ）電路，由 KVL ，可得

用積分變量分離法進(jìn)行求解，得

式中，

為 RC 電路的時(shí)間常數(shù)（ time constant ），當(dāng) R 的單位為Ω， C 的單位為 F 時(shí)，τ的單位是秒（ s ）。
 

時(shí)間常數(shù)：時(shí)間常數(shù)是反映一階電路過(guò)渡過(guò)程進(jìn)展快慢的一個(gè)重要的參數(shù)，其大小僅取決于電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。τ越大，響應(yīng)衰減的速度就越慢；τ越小，響應(yīng)衰減的速度就越快。

用 表示電路換路后的響應(yīng)，用 表示該響應(yīng)的初始值，則 RC 一階電路的零輸入響應(yīng)可表示為

RC 電路零輸入響應(yīng)的規(guī)律

RC 電路換路后，各處的零輸入響應(yīng)都是從初始值開(kāi)始，按指數(shù)規(guī)律衰減。衰減得快慢由時(shí)間常數(shù)τ決定。

二、 RL 電路的零輸入響應(yīng)

圖 5.3-3 （ a ）是 RL 動(dòng)態(tài)電路。電路換路之前開(kāi)關(guān) S 處于位置 1 ， t=0 時(shí)開(kāi)關(guān) S 由位置 1 撥到位置 2 。下面討論換路后 時(shí)的電感電流 、電感電壓 等響應(yīng)的變化規(guī)律。

時(shí)刻，電路換路之前開(kāi)關(guān) S 處于位置 1 ，直流電流源 Is 對(duì)電感 L 充電，電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)，換路前的等效電路如圖 5.3-3 （ b ）所示。

t=0 時(shí)，開(kāi)關(guān) S 撥到位置 2 ， 時(shí)，電感與電流源斷開(kāi)，而與電阻 R 形成新的回路，這時(shí)的等效電路如圖 5.3-3 （ c ）所示。

由換路定則得換路后電感電流的初始值為

電感電壓的初始值為

對(duì)于圖 5.3-3 （ c ）電路，由 KVL 可得

采用積分變量分離法進(jìn)行求解，得

式中，稱為 RL 電路的時(shí)間常數(shù)，當(dāng) R 的單位為Ω， L 的單位為 H 時(shí)，τ的單位為秒（ s ）。

總 結(jié)

電容、電感動(dòng)態(tài)元件在電路中充電和放電的過(guò)程，實(shí)際上是動(dòng)態(tài)元件與電路的能量交換過(guò)程，動(dòng)態(tài)元件本身并不耗能。

圖 5.3-1 電路中，電路換路之前電容處于充電狀態(tài)，電容從電壓源吸收能量并儲(chǔ)存起來(lái)，電路換路之后，電容又開(kāi)始放電，釋放的能量被電阻 R 所消耗，零輸入響應(yīng)就是一個(gè)放電的過(guò)程。